7.1 Định nghĩa và ví dụ

7.1.1 Định nghĩa

Ánh xạ \(T:V\to W\) từ không gian vectơ \(V\) đến không gian vectơ \(W\) được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn hai tính chất sau với mọi \(u,v\in V\) và với mọi \(k\in {\rm I\!R}\):

1) \(T(ku)=kT(u)\) (tính bảo toàn phép nhân với vô hướng)
2) \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) (tính bảo toàn phép cộng).

7.1.2. Định nghĩa

Ánh xạ \(T:V\to V\) của không gian vectơ \(V\) được gọi là biến đổi tuyến tính của không gian vectơ \(V\) nếu thỏa mãn hai tính chất sau với mọi \(u,v\in V\) và với mọi \(k\in {\rm I\!R}\):\

1) \(T(ku)=kT(u)\)
2) \(T(u+v)=T(u)+T(v)\)

Câu hỏi

Ánh xạ \(T:V\to W\) từ không gian vectơ \(V\) đến không gian vectơ \(W\) KHÔNG là ánh xạ tuyến tính khi nào?

Hướng dẫn

Ánh xạ \(T:V\to W\) từ không gian vectơ \(V\) đến không gian vectơ \(W\) KHÔNG là ánh xạ tuyến tính nếu nó vi phạm một trong hai điều kiện trên. Tức là

1) Tồn tại \(k \in \mathbb{R}\) , tồn tại \(u \in V\) sao cho \(T(ku)\neq kT(u)\). hoặc 2) Tồn tại \(u,v \in V\) sao cho \(T(u+v)\neq T(u)+T(v)\).

7.1.3 Tính chất

Cho \(T:V\to W\) là ánh xạ tuyến tính, thì: \

1) \(T(k_1v_1+k_2v_2)=k_1T(v_1)+k_2T(v_2)\) với mọi \(v_1,v_2\in V\) và \(k_1,k_2\in {\rm I\!R}\).\

Tổng quát hơn: \(T(k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r)=k_1T(v_1)+k_2T(v_2)+\cdots+k_rT(v_r)\). \

2) \(T(0)=0\).
3) \(T(u-v)=T(u)-T(v)\).

Chứng minh

1) Với mọi \(v_1,v_2\in V\) và \(k_1,k_2\in {\rm I\!R}\) ta đều có \(T(k_1v_1+k_2v_2)=T(k_1v_1)+T(k_2v_2)= k_1T(v_1)+k_2T(v_2).\) Tổng quát \(T(k_1v_1+k_2v_2+\cdots+k_rv_r)= T(k_1v_1)+T(k_2v_2)+\cdots+T(k_rv_r)=k_1T(v_1)+k_2T(v_2)+\cdots+k_rT(v_r)\). 2) \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\). Suy ra \(T(0)=0\).

3) \(T(u-v)=T(1.u+(-1)v))=1.T(u)+(-1)T(v)=T(u)-T(v)\) với mọi \(u,v \in V\).

7.1.4 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Ánh xạ đồng nhất)

Cho \(V\) là không gian vectơ. Chứng minh rằng ánh xạ đồng nhất \(Id_V:V \to V\), \(Id_V(v)=v\) với mọi \(v\in V\) là một ánh xạ tuyến tính.

Hướng dẫn giải

1) Với mọi \(u \in V\), với mọi \(k \in \mathbb{R }\) ta đều có \(\boxed{ Id_V(ku)}\) \(=ku=k.u =\) \(\boxed{k Id_V(u)}.\) Suy ra \(Id_V\) bảo toàn phép nhân vô hướng.
2) Với mọi \(u,v \in V\) ta đều có\(\boxed{Id_V(u+v)}\)\(= u+v=\) \(\boxed{ADId_V(u)+ Id_V(v)}.\)
Suy ra \(Id_V\) bảo toàn phép cộng.
Vậy \(Id_V\) là một ánh xạ tuyến tính.

Ví dụ 2

Ánh xạ co và giãn. Cho \(V\) là không gian vectơ, \(k\in {\rm I\!R}\) cho trước, ánh xạ \(T_1:V\to V\), \(T_1(v)=kv\) với mọi \(v\in V\). Nếu \(0<k<1\) thì \(T_1\) được gọi là phép co, và nếu \(k>1\) thì \(T_1\) được gọi là phép giãn của \(V\) với hệ số \(k\).

Hướng dẫn giải

1) Với mọi \(v \in V\) và với mọi \(m \in \mathbb{R }\) ta có \(\boxed{ T_1(mv)}\)\(=k(mv)=m(kv)=\) \(\boxed{mT_1(v)}\). Suy ra \(T_1\) bảo toàn phép nhân vô hướng.
2) Với mọi \(v,v' \in V\) ta đều có \(\boxed{ T_1(v+v')}\)\(=k(v+v')= kv+kv'=\)\(\boxed{T_1(v)+T_1(v')}\). Suy ra \(T_1\) bảo toàn phép cộng. Vậy \(T_1\) là ánh xạ tuyến tính.

Ví dụ 3

Cho ánh xạ \(T_2:P_n\to P_{n+1}\), \(T_2(p(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n)=xp(x)=c_0x+c_1x^2+\cdots+c_nx^{n+1}\). Chứng minh rằng \(T_2\) là một ánh xạ tuyến tính.

Hướng dẫn giải

1) Với mọi \(p(x)= c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n \in P_n\), với mọi \(k \in \mathbb{R }\) ta đều có \(\boxed{ T_2 (kp(x))}\)\(= T_2( kc_0+kc_1x+\cdots+ kc_nx^n) = kc_0x+kc_1 x^2 +\cdots+ kc_nx^{n+1}\) \(=k(c_0x+c_1x^2+\cdots+c_nx^{n+1})=\) \(\boxed{k T_2(p(x))}\)

2) Với mọi \(p(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_nx^n ,q(x)=c'_0+c'_1x+\cdots+c'_nx^n \in V=P_n\) ta đều có \(\boxed{ T_2( p(x)+q(x))}\) \(= T_2( (c_0+c'_0)+(c_1+c_1')x+\cdots+ (c_n+c'_n)x^n )\) \(= (c_0+c'_0)x+(c_1+c_1')x^2+\cdots+ (c_n+c'_n)x^{n+1}\) \(= (c_0x+c_1x^2+\cdots+c_nx^{n+1})+ (c'_0x+c'_1x^2+\cdots+c'_nx^{n+1} ) =\)\(\boxed{ T_2(p(x))+T_2(q(x))}\).

Vậy \(T_2\) là một ánh xạ tuyến tính.